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des divers nombres qui entrent sous les radicaux de cette formule : de manière que, si l’on négligeait par-tout ce nombre $p,$ en le comptant comme nul, tous ces radicaux disparaîtraient d’eux-mêmes, et que la formule se réduirait uniquement à la partie rationnelle ${\frac {-1}{p-1}},$ qui, relativement à $p,$ équivaut à l’unité.

41. C’est ce que vous pouvez reconnaitre dans les expressions précédentes des racines $3^{\mathrm {mes} },5^{\mathrm {mes} },$ et $7^{\mathrm {mes} },$ de l’unité.

Par exemple, la formule des racines cubiques imaginaires de l’unité, est ${\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},$ où vous voyez que l’exposant $3$ entre comme facteur sous le radical ; de sorte que, relativement au module $3,$ cette formule se réduit à ${\frac {-1}{2}}$ ou à l’unité.

La formule de la racine $5^{\mathrm {me} },$ imaginaire de l’unité, est

${\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}+{\frac {\sqrt {\left(-10+2{\sqrt {5}}\right)}}{4}},$

où vous voyez que l’exposant $5$ est facteur des divers nombres soumis aux radicaux. Si donc vous rapportez cette formule au nombre premier $5,$ tous les radicaux disparaissent, et il ne reste que ${\frac {-1}{4}},$ qui, relativement à $5,$ équivaut à $1.$ comme cela doit être.

Pour les racines $7^{\mathrm {mes} }$ imaginaires de l’unité, nous avons trouvé :

${\frac {-1+{\sqrt {-7}}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}+{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}},$

où l’on voit le nombre $7$ facteur de tous les nombres qui sont