Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/599

Il est évident, en premier lieu, que la variation de $v$ par rapport à $x$ est nulle ; ainsi le terme ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}$ doit être omis. On aura maintenant, suivant les principes du calcul différentiel, les équations :

${\frac {dv}{dz}}={\frac {dv}{dr}}{\frac {dr}{dz}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+{\frac {dv}{dr}}{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}$

${\frac {dv}{dy}}={\frac {dv}{dr}}{\frac {dr}{dy}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}+{\frac {dv}{dr}}{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\,;$

donc

${\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left[\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}\right]+{\frac {dv}{dr}}\left[{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\right]\quad (a).$

Il faut remplacer dans le second membre les quantités ${\frac {dr}{dz}},{\frac {dr}{dy}},{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}},{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}$ par leurs valeurs respectives. Pour cela, on tirera de l’équation $z^{2}+y^{2}=r^{2},$

$z=r{\frac {dr}{dz}}\qquad {\text{et}}\qquad 1=\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+r{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}$

$y=r{\frac {dr}{dy}}\qquad {\text{et}}\qquad 1=\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}+r{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}},$

et par conséquent

$z^{2}+y^{2}=r^{2}\left[\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}\right]$

$z=\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}+r\left({\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\right).$

La première, dont le premier membre est égal à $r^{2},$ donne

$\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}=1\qquad \qquad \qquad (b)$