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Pour que l’équation dont il s’agit subsiste, il est nécessaire que les constantes satisfassent aux équations que l’on obtient par des différentiations successives, ce qui donne les résultats suivants :

${\begin{alignedat}{4}1&=a\cos .u+&b\cos .3u+&&c\cos .5u+&&d\cos .7u+{\text{etc}}.\\0&=a\sin .u+&3b\sin .3u+&&5c\sin .5u+&&7d\sin .7u+{\text{etc}}.\\0&=a\cos .u+&3^{2}b\cos .3u+&&5^{2}c\cos .5u+&&7^{2}d\cos .7u+{\text{etc}}.\end{alignedat}}$

ainsi de suite à l’infini.

Ces équations devant aussi avoir lieu lorsque $u=0,$ on aura

$a+\quad b+\quad c+\quad d+\quad e+\quad \ f+\quad g+$

$=1$

$a+3^{2}b+5^{2}c+7^{2}d+9^{2}e+11^{2}f+$

$=0$

$a+3^{4}b+5^{4}c+7^{4}d+9^{4}e+$

$=0$

$a+3^{6}b+5^{6}c+7^{6}d+$

$=0$

$a+3^{8}b+5^{8}c+$

$=0$

$a+3^{10}b+$

$=0$

$a+$

$=0$

Le nombre de ces équations est infini, comme celui des indéterminées $a,\,b,\,c,\,d,\,e,$ etc.

Pour se former une idée distincte du résultat de ces éliminations, on supposera que le nombre des inconnues $a,\,b,\,c,\,d,$ etc. est d’abord déterminé et égal à $m;$ on emploiera les $m$ premières équations seulement, en effaçant tous les termes où se trouvent les inconnues qui suivent les $m$ premières. Si l’on fait successivement $m=2,$ $m=3,$ $m=4,$ $m=5,$ etc., à l’infini, on trouvera dans chacune de ces suppositions les valeurs des indéterminées. La quan-