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En faisant dans cette équation $x={\frac {1}{2}}\pi ,$ on trouve

${\frac {\pi }{8}}=1+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+{\frac {1}{11^{2}}}+$etc.,

série déjà connue. On pourrait énumérer à l’infini ces cas particuliers, mais il convient mieux à l’objet de ce Mémoire de déterminer, en suivant le même procédé, les valeurs de diverses séries formées de sinus ou de cosinus d’arcs multiples.

19. Soit, par exemple,

$y=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+\ldots$

$+{\frac {1}{m-1}}\sin .(m-1)x-{\frac {1}{m}}\sin .mx,$

$m$ étant un nombre pair quelconque. Ou tire de cette équation

${\frac {dy}{dx}}=\cos .x-\cos .2x+\cos .3x\ldots +\cos(m-1)x-\cos .mx.$

Si on multiplie les deux membres par $2\sin .x,$ et qu’on fasse les réductions, on aura

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\cos .\left(m+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\cos .{\frac {1}{2}}x}}.$

Donc

$y={\frac {1}{2}}x-\int {\frac {\cos .\left(m+{\frac {1}{2}}\right)x.dx}{\cos .{\frac {1}{2}}x}}=\mathrm {C} +{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}.{\frac {1}{m+{\frac {1}{2}}}}.{\frac {\sin .\left(m+{\frac {1}{2}}\right)x}{\cos .\left({\frac {1}{2}}+x\right)}}+{\text{etc}}.$

et si $m$ est infini, on aura $y=\mathrm {C} +{\frac {1}{2}}x.$ La valeur de $y$ étant nulle en même temps que $x,$ la constante est nulle ; et l’on trouve