Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/712

Les quantités $a,\,b,\,c,\ldots$ et $\mathrm {C}$ étant déterminées par ces équations, on connaît entièrement les valeurs des variables $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots \omega .$

Si l’on fait $n=2,$ on trouvera, comme dans l’article précédent,

$\alpha ={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(a-b)e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t}\quad {\text{et}}\quad \beta ={\frac {1}{2}}(a+b)-{\frac {1}{2}}(a-b)e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t}.$

Si l’on fait $n=3,$ on trouvera deux valeurs de $u.$ Les valeurs de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sont :

${\begin{alignedat}{2}\alpha &={\frac {1}{3}}(a+b+c)+\left({\frac {a-c}{2}}\right)e^{-{\frac {\mathrm {K} }{m}}t}&&+\left({\frac {a-2b+c}{6}}\right)e^{-3{\frac {\mathrm {K} }{m}}t}\\\beta &={\frac {1}{3}}(a+b+c)&&-\left({\frac {a-2b+c}{3}}\right)e^{-3{\frac {\mathrm {K} }{m}}t}\\\gamma &={\frac {1}{3}}(a+b+c)-\left({\frac {a-c}{2}}\right)e^{-{\frac {\mathrm {K} }{m}}t}&&+\left({\frac {a-2b+c}{6}}\right)e^{-3{\frac {\mathrm {K} }{m}}t}\end{alignedat}}$

On peut effectuer en général l’élimination des inconnues dans les équations $(c),$ et déterminer les valeurs des quantités $a,\,b,\,c,\ldots ,$ même lorsque le nombre des équations est infini ; on emploiera ce procédé d’élimination dans l’article suivant.

En examinant les équations qui donnent les valeurs générales des variables $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \omega ,$ on voit que le temps $t$ venant à augmenter, les termes qui se succèdent dans la valeur de chaque variable décroissent inégalement ; car les valeurs de $u,u',u'',u''',\ldots$ étant $1{\frac {\pi }{n}},\,2{\frac {\pi }{n}},\,3{\frac {\pi }{n}},\,4{\frac {\pi }{n}},\ldots ,$