Ces intégrations correspondent exactement aux éliminations des diverses inconnues dans les équations pages 377, 378, etc., et l’on reconnait clairement, par cette comparaison des deux méthodes, que l’équation art. 31, page 328, a lieu pour toutes les valeurs de comprises entre et sans que l’on soit fondé à l’appliquer aux valeurs de qui excèdent ces limites.
Pour former l’intégrale de l’équation qui exprime le mouvement de la chaleur dans une armille, il a été nécessaire de résoudre une fonction arbitraire en une série de sinus et de cosinus d’arcs multiples : les nombres qui affectent la variable sous les signes sinus et cosinus, sont les nombres de l’ordre naturel etc. La question suivante présente une difficulté de plus : l’intégration exige que l’on résolve la fonction arbitraire en une série de sinus ; mais les coëfficients de la variable, sous le signe sinus, ne sont plus les nombres etc.; ces coëfficients satisfont à une équation déterminée, dont toutes les racines sont irrationnelles et en nombre infini.
En général, nous nous sommes attachés à donner de chaque question une solution spéciale, et dont on pût facilement conclure les valeurs numériques des quantités inconnues. Les intégrales des équations aux différences partielles sont susceptibles de diverses formes, parmi lesquelles il faut choisir celle qui convient à la question physique dont il s’agit, et qui est la plus propre à représenter les phénomènes ; et il arrive souvent que l’interprétation des résultats du calcul est indépendante des méthodes générales d’intégration. Ces mêmes considérations s’appliquent à la question du mouvement des fluides, et surtout à celle du mouvement uniforme
