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pourvu que l’on considère des points situes à une grande distance du foyer de chaleur. Il est facile de voir, au moyen de la construction, que si la quantité appelée $l,$ qui est la demi épaisseur, est fort petite, $n_{1}$ a une valeur beaucoup plus petite que $n_{2}$ ou $n_{3}.$ Il résulte de-là que la première fraction $e^{-{\sqrt {2n_{1}^{2}}}}$ est beaucoup plus grande qu’aucune des fractions analogues. Ainsi dans le cas où l’épaisseur de la barre est très-petite, il n’est pas nécessaire de s’éloigner de la source de la chaleur pour que les températures des points également distants décroissent en progression géométrique ; cette loi règne alors dans toute l’étendue de la barre.

59. 3^o Si la demi épaisseur $l$ est une très-petite quantité, la valeur générale de $v$ se réduit au premier terme qui contient $e^{-x{\sqrt {2n_{1}^{2}}}}$ ainsi la fonction $v$ qui exprime la température d’un point dont les coordonnés sont $x,y$ et $z,$ est donnée dans ce cas par l’équation

$v=\left[{\frac {4\sin .nl}{2nl+\sin .2nl}}\right]^{2}\cos .ny.\cos .nz.e^{-x{\sqrt {2n^{2}}}}.$

L’arc $\varepsilon$ ou $nl$ devient extrêmement petit, comme on le voit par la construction. L’équation $\varepsilon \operatorname {tang} .\varepsilon ={\frac {h}{\mathrm {K} }}l$ se réduit alors à $\varepsilon ^{2}={\frac {h}{\mathrm {K} }}l\,;$ la première valeur de $\varepsilon$ ou $\varepsilon _{1}$ est ${\sqrt {{\frac {h}{\mathrm {K} }}l}}.$ À l’inspection de la figure, on connait les valeurs des autres racines, en sorte que les quantités $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\varepsilon _{4},\varepsilon _{5},$ etc. sont les suivantes :

${\sqrt {{\frac {h}{\mathrm {K} }}l}},\ \ \pi ,\ \ 2\pi ,\ \ 3\pi ,\ \ 4\pi ,$ etc.;