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constante quelle que soit la valeur que l’on donne, soit à $x,$ soit à $y,$ soit à $z,$ pourvu que chacune de ces valeurs soit comprise entre $a$ et $-a.$ Appelant $1$ la température initiale commune à tous les points du solide, on posera l’équation

$1=\mathrm {A} _{1}\cos .n_{1}x+\mathrm {A} _{2}\cos .n_{2}x+\mathrm {A} _{3}\cos .n_{3}x+{\text{etc.}},$

dans laquelle il s'agit de déterminer $\mathrm {A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}} ,$ etc. On multipliera chaque membre par $\cos .n_{1}x,$ et l’on intégrera depuis $x=a,$ jusqu’à $x=-a.$ Or il résulte de l’analyse employée précédemment (pag. 461), que l’on a l’équation

$1={\frac {\sin .n_{1}a\cos .n_{1}x}{n_{1}a\left(1+{\frac {\sin .2n_{1}a}{2n_{1}a}}\right)}}+{\frac {\sin .n_{2}a.\cos .n_{2}x}{n_{2}a\left(1+{\frac {\sin .2n_{2}a}{2n_{2}a}}\right)}}+{\frac {\sin .n_{3}a.\cos .n_{3}x}{n_{3}a\left(1+{\frac {\sin .2n_{3}a}{2n_{3}a}}\right)}}$etc.

Désignant par $\mu _{1}$ la quantité ${\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\sin .2n_{1}a}{2n_{1}a}}\right),$ et par $\mu _{2},\mu _{3},$ etc. les quantités analogues, on aura

$1={\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}}}\cos .n_{1}x+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}}}.\cos .n_{2}x+{\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}}}.\cos .n_{3}x+$etc. :

cette équation aura toujours lieu lorsque l’on donnera à $x$ une valeur comprise entre $a$ et $-a.$

On peut en conclure la valeur générale de $v,$ elle est exprimée par l’équation suivante :

${\begin{aligned}v=&\left({\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}}}\cos .n_{1}xe^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}}}\cos .n_{2}xe^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}}}\cos .n_{3}xe^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc.}}\right)\\&\left({\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}}}\cos .n_{1}ye^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}}}\cos .n_{2}ye^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}}}\cos .n_{3}ye^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc.}}\right)\\&\left({\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}}}\cos .n_{1}ze^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}}}\cos .n_{2}ze^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}}}\cos .n_{3}ze^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc.}}\right)\\\end{aligned}}$