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contraire $-{\frac {1}{2}}\pi .$ On peut peut vérifier par ce moyen la propriété de la fonction ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\sin .q.\cos .qx}{q}}$ (voir page 490), dont la valeur est $1$ ou $0,$ selon que $x$ est ou n’est pas comprise entre $1$ et $-1.$ En effet on a

$\int {\frac {dq}{q}}\cos .qx.\sin .q={\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .(x+1)q-{\frac {1}{2}}\int {\frac {dq}{q}}\sin .(x-1)q.$

Le premier terme vaut ${\frac {1}{4}}\pi$ ou $-{\frac {1}{4}}\pi ,$ selon que $x+1$ est une quantité positive ou négative ; le second, abstraction faite du signe, vaut ${\frac {1}{4}}\pi$ ou $-{\frac {1}{4}}\pi ,$ selon que $x-1$ est une quantité positive ou négative. Donc l’intégrale totale est nulle si $x$ est $>1,$ car les deux termes se détruisent ; elle est nulle par la même raison si $x$ est $<-1\,:$ elle vaut ${\frac {1}{2}}\pi$ si $x$ est $>-1$ et $<1,$ car les deux termes s’ajoutent.

On pouvait déduire aussi de la transformation des séries en intégrales les propriétés des deux expressions

$\int {\frac {dq\cos .qx.}{1+q^{2}}},\quad \int {\frac {qdq\sin .qx.}{1+q^{2}}}.$

La première (voyez page 492, art. 68 équivaut à $e^{-x},$ lorsque $x$ est positive, et à $e^{x}$ lorsque $x$ est négative. La seconde équivaut à $e^{-x}$ si $x$ est positive, et à $-e^{-x}$ si $x$ est négative ; en sorte que ces deux intégrales ont la même valeur si $x$ est positive, et des valeurs opposées si $x$ est négative.