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L’intégrale

$\int dqe^{-\left(q\pm {\sqrt {-\mathrm {K} t}}\right)},$

prise de $q=-{\frac {1}{0}}$ à $q={\frac {1}{0}},$ est ${\sqrt {\pi }}.$ On a donc, pour la valeur de l’intégrale

$\int dqe^{-q^{2}}\sin .\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right),$

la quantité

$e^{-\mathrm {K} t}\sin .x.{\sqrt {\pi }}\,;$

et en général

$e^{-n^{2}\mathrm {K} t}\sin .nx.{\sqrt {\pi }}=\int dqe^{-q^{2}}\sin .n\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right).$

On parviendra de la même manière à déterminer l’intégrale

$\int dqe^{-q^{2}}\cos .n\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right),$

dont la valeur est

$e^{-n^{2}\mathrm {K} t}\cos .nx.{\sqrt {\pi }}.$

On voit par là que l’intégrale générale

${\begin{aligned}e^{-n_{1}^{2}\mathrm {K} t}(a_{1}\sin .n_{1}x+b_{1}\cos .n_{1}x)&+e^{-n_{2}^{2}\mathrm {K} t}(a_{2}\sin .n_{2}x+b_{2}\cos .n_{2}x)\\&+e^{-n_{3}^{2}\mathrm {K} t}(a_{3}\sin .n_{3}x+b_{3}\cos .n_{3}x)+{\text{etc}}.,\end{aligned}}$

équivaut à :

${\begin{aligned}\int dqe^{-q^{2}}\left[a_{1}\sin .n_{1}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)\right.&+a_{2}\sin .n_{2}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)\\&+a_{3}\sin .n_{3}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)+{\text{etc}}.\\+b_{1}\cos .n_{1}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)&+b_{2}\cos .n_{2}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)\\&+\left.b_{3}\cos .n_{3}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)+{\text{etc}}.\right]\end{aligned}}$