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les valeurs suivantes :

${\begin{alignedat}{4}\int x'dm=&MX',\\\int y'dm=&MY',\\\int x'z'dm&=MX'Z'&&+acG&&+a'c'H&&+a''c''K,\\\int y'z'dm&=MY'Z'&&+bcG&&+b'c'H&&+b''c''K\,;\end{alignedat}}$

ce qui change les deux valeurs obtenues précédemment pour $r,$ en

${\begin{aligned}r&=Z'+{\frac {acG+a'c'H+a''c''K}{MX'}}\\r&=Z'+{\frac {bcG+b'c'H+b''c''K}{MY'}}.\end{aligned}}$

Pour que ces deux valeurs soient égales, il faut que

${\frac {acG+a'c'H+a''c''K}{X'}}={\frac {bcG+b'c'H+b''c''K}{Y'}},$

ou, en mettant au lieu de $X'$ et de $Y'$ leurs valeurs et changeant les signes,

${\frac {acG+a'c'H+a''c''K}{aX+a'Y+a''Z}}={\frac {bcG+b'c'H+b''c''K}{bX+b'Y+b''Z}}\,;$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}&abcGX+ba'c'HX+ba''c''KX+ab'cGY+a'b'c'HY\\&+b'a''c''KY-ab''cGZ+a'b''c'HZ+a''b''c''KZ=\\&abcGX+ab'c'HX+ab''c''KX+ba'cGY+a'b'c'HY\\&+a'b''c''KY+ba''cGZ+b'a''c'HZ+a''b''c''KZ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire,

${\begin{aligned}&(ab'-ba')c'HX+(ab''-ba'')c''KX+(ba'-ab')cGY+\\&(a'b''-b'a'')c''KY+(ba''-ab'')cGZ+(b'a''-a'b'')c'HZ=0,\end{aligned}}$

qui devient, à cause des valeurs de $c,c',c'',$ obtenues précédemment,

$c'c''(H-K)X+cc''(K-G)Y+cc'(G-H)Z=0.$