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avec les trois plans coordonnés que nous venons de considérer, ou, ce qui est la même chose, des trois angles que forme, avec les axes des $x,$ des $y$ et des $z,$ la ligne menée par le point $A$ perpendiculairement à ce plan. Comme cette ligne est à-la-fois perpendiculaire à celles dont les cosinus sont respectivement $c,c',c''$ et $m,m',m'',$ on aura

$n^{2}+n^{'2}+n^{''2}=1,$

$nc+n'c'+n''c''=0,$

$mn+m'n'+m''n''=0.$

Ces deux dernières équations donnent

${\frac {m''}{c''}}={\frac {mn+m'n'}{nc+n'c'}}\,;$

ce qui change l’équation

${\frac {Dm}{c}}+{\frac {D'm'}{c'}}+{\frac {D''m''}{c''}}=0$

en

${\frac {Dmc'+D'cm'}{cc'}}+{\frac {D''(mn+m'n')}{nc+n'c'}}=0,$

ou

${\begin{alignedat}{3}Dmncc'&+D'nm'c^{2}&&+Dmn'c^{'2}&&+D'm'n'cc'\\&+D''mncc'&&+D''m'n'cc'&&=0,\end{alignedat}}$

et à cause de $D''=-D-D',$ cette équation se réduit à

$D'nm'c^{2}+Dmn'c^{'2}-D'mncc'-Dm'n'cc'=0,$

ou

$(D'nc-Dn'c')(m'c-mc')=0\,;$

or le facteur $m'c-mc',$ égalé à zéro, donne ${\frac {m'}{c'}}={\frac {m}{c}},$ ainsi

$(D+D'){\frac {m}{c}}+D''{\frac {m''}{c''}}=0,$

et à cause de $D+D'=-D'',$

${\frac {m''}{c''}}={\frac {m}{c}}={\frac {m'}{c'}}=k\,;$

mais on a

$c^{2}+c^{'2}+c^{''2}=1,$