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ce plan et les autres sont compris dans un autre plan qui lui est perpendiculaire ; ou parce que, par la nature du corps, une des trois quantités $D,D',D''$ est nulle. Supposons que ce soit $D''\,:$ comme $D''=\int x^{2}dm-\int y^{2}dm,$ il faudra que $\int y^{2}dm=\int x^{2}dm,$ et par la théorie connue des plans principaux, tout plan passant par l’axe des $z$ sera un plan principal. La supposition $D''=0$ réduit l’équation de la surface conique à

$(DXy+D'Yx)z+(D'Xy+DYx)Z=0\,;$

mais comme alors $G=H,$ les deux quantités $D=H-K$ et $D'=K-G$ sont égales et de signes contraires ; cette équation peut donc s’écrire ainsi,

$(Xy-Yx)(z-Z)=0,$

dont le premier facteur $Xy-Yx=0,$ donnant

${\frac {y}{x}}={\frac {Y}{X}},$

représente le plan qui passe par le point donné et par l’axe des $z,$ et qui, comme nous venons de le dire, est un plan principal. L’autre facteur $z-Z=0,$ représente un autre plan passant par le point donné et parallèle au plan des $xy\,;$ il est donc perpendiculaire au plan représenté par le premier facteur, et dans ce cas, comme dans celui que nous avons d’abord examiné, les axes permanens passant par un point donné ne peuvent être compris dans deux plans qu’autant que l’un de ces deux plans est un des plans principaux et que l’autre lui est perpendiculaire, en sorte que dans aucun cas cette propriété ne peut appartenir à un point qui ne se trouve pas dans un des plans principaux, et que les axes permanens qui passent par un point donné ne peuvent se trouver compris dans des plans qu’autant que ces plans, s’ils ne sont pas des plans principaux soient nécessairement