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En supposant $u=0,$ on aura l’équation de condition

${\begin{aligned}\phi t&=a\ \cos 2g^{2}kt+b\ \sin 2g^{2}kt\\&+a_{1}\cos 2g_{1}^{2}kt+b_{1}\sin 2g_{1}^{2}kt\\&+a_{2}\cos 2g_{2}^{2}kt+b_{2}\sin 2g_{2}^{2}kt\\&+\&c.\end{aligned}}$

Pour que cette fonction soit périodique, et qu’elle reprenne sa valeur lorsqu’on augmente $t$ de l’intervalle $\theta ,$ il suffit que $2g^{2}k\theta =2i\pi ,$ $i$ étant un nombre entier quelconque. Si on prend pour $g,g_{1},g_{2},$ &c. des nombres qui satisfassent à cette condition, la valeur générale de donnée par l’équation (e) sera périodique aussi, et ne changera point lorsqu’on écrira $t+\theta$ au lieu de $t\,;$ car cette substitution ne fera qu’augmenter d’un multiple de la circonférence entière toutes les quantités qui sont sous les signes sinus ou cosinus.

On a donc

${\begin{aligned}\phi i=a&+a_{1}\cos \left(1{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)+b_{1}\sin \left(1{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)\\&+a_{2}\cos \left(2{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)+b_{2}\sin \left(2{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)\\&+a_{3}\cos \left(3{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)+b_{3}\sin \left(3{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)\\&+\&c.\end{aligned}}$

La fonction $\phi t$ étant supposée connue, il sera facile d’en déduire les valeurs des coefficiens $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4},$ &c. $b_{1},\,b_{2},\,b_{3},\,b_{4},$ &c. On trouvera (voyez article 31)

$\pi a={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2\pi }{\theta }}\int \phi t.dt,\qquad \pi a_{1}={\frac {2\pi }{\theta }}\int \phi t.dt\cos \left({\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt,$

$\pi b_{1}={\frac {2\pi }{\theta }}\int \phi t.\sin \left({\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt\,;\qquad$et en général

$\pi a_{i}={\frac {2\pi }{\theta }}\int \phi t.\cos \left(i{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt,\qquad \pi b_{i}={\frac {2\pi }{\theta }}\int \phi t.\sin \left(i{\frac {2\pi }{\theta }}t\right)dt.$