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En désignant par $u$ la fonction de $y,$ qui équivaut à l’intégrale définie $\int e^{y\cos r}dr,$ on aura $v=u\cos x\,;$ et substituant, on a $-u+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {1}{y}}\cdot {\frac {du}{dy}}=0,$ équation différentielle du second ordre à laquelle la valeur de $u$ satisfait. Pour s’en assurer, on donnera à l’intégrale définie $\int e^{y\cos r}dr$ la forme exprimée par l’équation suivante,

$\int e^{y\cos r}dr=\pi \left(1+{\frac {y^{2}}{2^{2}}}+{\frac {y^{4}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {y^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {y^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}+\ldots \right),$

qu’il est facile de vérifier. Cette expression de la somme de la série

$1+{\frac {y^{2}}{2^{2}}}+{\frac {y^{4}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {y^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\ldots$

est une conséquence évidente de la proposition générale énoncée dans l’article 53 et qui donne le développement de l’intégrale $\int du\,\phi (t\sin u),$ $\phi$ étant une fonction quelconque. Or l’équation

$u=\pi \left(1+{\frac {y^{2}}{2^{2}}}+{\frac {y^{4}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {y^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\ldots \right)$

satisfait évidemment à l’équation différentielle

$u={\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {1}{y}}\cdot {\frac {du}{dy}}\,:$

donc la valeur particulière donnée par l’équation $v=\int e^{y\cos r}dr$ satisfait à l’équation aux différences partielles

${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {1}{y}}\cdot {\frac {dv}{dy}}=0.$

Cette dernière équation exprime la condition nécessaire pour que chaque point du solide conserve sa température. En effet, imaginons que, l’axe étant divisé en une infinité de parties égales $dx,$ on élève dans le plan d’un méridien toutes