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plement

${\frac {1}{\rho _{1}}}={\frac {1}{\rho }}+{\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{dx'}}h\chi +{\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{dy'}}h\xi +{\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{dz'}}h\zeta .$

Si l’on substitue cette valeur dans les formules précédentes le premier terme disparaîtra dans leurs intégrales en vertu de l’équation (1) ; faisant ensuite

$\int \chi \mu \varepsilon ds=\alpha ',\quad \int \xi \mu \varepsilon ds=\beta ',\quad \int \zeta \mu \varepsilon ds=\gamma ',$

et pour abréger,

${\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{dx'}}\alpha '+{\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{dy'}}\beta '+{\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{dz'}}\gamma '=q\,;$

désignant enfin par $\lambda ,\lambda ',\lambda '',$ les trois composantes de la force cherchée, respectivement parallèles aux axes des $x,y,z,$ on aura

$\lambda =h^{3}{\frac {dq}{dx}},\quad \lambda '=h^{3}{\frac {dq}{dy}},\quad \lambda ''=h^{3}{\frac {dq}{dz}}.$                      (2)

On voit par-là que ces trois composantes ne dépendent point de la forme de l’élément magnétique, ni de la distribution du fluide libre à sa surface ; elles dépendent des trois quantités $\alpha ',\beta ',\gamma ',$ qui varient avec la position de l’élément dans l’intérieur de $A,$ et dont nous aurons à déterminer les valeurs en fonctions des coordonnées $x',y',z',$ d’après la forme de ce corps, et les forces extérieures qui agissent sur ses deux fluides. Il n’en serait pas de même si le point $M$ était très rapproché de l’élément magnétique l’action de cet élément dépendrait alors de sa forme et de la distribution du fluide libre à sa surface de telle sorte qu’on ne pourrait la connaître qu’en faisant une hypothèse sur cette forme, et après avoir déterminé, en conséquence, la loi des épaisseurs du fluide libre à la surface. Mais heureusement nous n’aurons pas besoin de considérer l’action des élémens magnétiques