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$\iiint {\frac {d.{\cfrac {\alpha 'k'}{\rho }}}{dx'}}dx'dy'dz'=\int {\frac {\alpha 'k'\cos l'}{\rho }}d\omega '\,;$

en désignant par $m'$ et $l'$ les angles que la partie extérieure de la normale à la surface de $A$ au point dont les coordonnées sont $x',y',z',$ fait avec des droites menées par ce point, dans les directions des $y'$ et $x'$ positives. Par conséquent, la valeur précédente de $Q$ se changera en celle-ci :

$Q=\int (\alpha '\cos l'+\beta '\cos m'+\gamma '\cos n'){\frac {k'}{\rho }}d\omega '-P,$           (b)

dans laquelle la première intégrale s’étend à la surface entière de $A,$ et l’intégrale que $P$ représente à son volume entier.

(18) Lorsque le point $M$ dont les coordonnées sont $x,y,z,$ sera situé dans l’intérieur de $A,$ les expressions des quantités $X,Y,Z$ seront différentes : les intégrales triples qu’elles représentent, ne devant pas comprendre les points de $A$ qui sont contenus dans une très-petite étendue autour de $M$ (n.° 7), si l’on appelle $B$ cette petite portion de $A,$ il faudra d’abord calculer les valeurs de $X,Y,Z,$ comme dans le numéro précédent, en étendant ces intégrales à $A$ tout entier, puis en retrancher les valeurs de ces mêmes intégrales, relatives à $B\,:$ ainsi, en désignant ces dernières valeurs par $X_{_{\scriptscriptstyle {I}}},Y_{_{\scriptscriptstyle {I}}},Z_{_{\scriptscriptstyle {I}}},$ nous aurons, dans le cas d’un point intérieur,

$X={\frac {dQ}{dx}}-X_{_{\scriptscriptstyle {I}}},\quad Y={\frac {dQ}{dy}}-Y_{_{\scriptscriptstyle {I}}},\quad Z={\frac {dQ}{dz}}-Z_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\,;$

la valeur de $Q$ étant donnée par l’équation (b) comme dans le cas d’un point extérieur. Il ne s’agira donc plus que de trouver les valeurs de $X_{_{\scriptscriptstyle {I}}},Y_{_{\scriptscriptstyle {I}}},Z_{_{\scriptscriptstyle {I}}}.$

Or nous avons par exemple (n.° 6),

$Z_{_{\scriptscriptstyle {I}}}=\iiint {\frac {dq}{dz}}k'dx'dy'dz'\,;$

remettant pour $q$ sa valeur (n.° 3), et effectuant la différen-