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l’inclinaison magnétique aux mêmes instans ; représentons par $v-\alpha$ et $v+\alpha ,$ les valeurs correspondantes de l’angle que nous avons désigné plus haut par $v,$ en sorte que $2\alpha$ soit la quantité dont la direction naturelle de la boussole horizontale s’est rapprochée de l’est, dans l’intervalle de la première la seconde observation ; les autres quantités $k,\,a,\,r,\,u,$ contenues dans l’équation précédente, n’auront pas varié : si donc on forme d’après cette équation les valeurs de $\operatorname {tang} c$ et $\operatorname {tang} c',$ et qu’on en prenne ensuite le rapport, en aura

${\frac {\operatorname {tang} c'}{\operatorname {tang} c}}=\left({\frac {\cos(v+\alpha )-\sin(v+\alpha )\operatorname {tang} \delta '}{\cos(v-\alpha )-\sin(v-\alpha )\operatorname {tang} \delta }}\right)P,$

en faisant, pour abréger,

$P={\cfrac {\left(1-{\cfrac {a^{3}}{r^{3}}}\right)\operatorname {tang} \delta \ -{\cfrac {3ka^{3}}{r^{3}}}\left[\cos(v-\alpha )-\sin(v-\alpha )\operatorname {tang} \delta \ \right]\sin ^{2}u\sin(v-\alpha )}{\left(1-{\cfrac {a^{3}}{r^{3}}}\right)\operatorname {tang} \delta '-{\cfrac {3ka^{3}}{r^{3}}}\left[\cos(v+\alpha )-\sin(v+\alpha )\operatorname {tang} \delta '\right]\sin ^{2}u\sin(v+\alpha )}}.$

Vu la petitesse de l’angle $\alpha ,$ cette formule se réduira à

${\frac {\operatorname {tang} c'}{\operatorname {tang} c}}={\frac {\left[\cos(v+\alpha )-\sin(v+\alpha )\operatorname {tang} \delta '\right]\operatorname {tang} \delta \ }{\left[\cos(v-\alpha )-\sin(v-\alpha )\operatorname {tang} \delta \;\right]\operatorname {tang} \delta '}},$

quand on aura eu soin de prendre l’angle $v$ aussi très-petit, et que la distance $r$ sera assez grande par rapport à $a$ pour qu’on puisse négliger les produits ${\frac {r^{3}}{^{3}}}\sin(v-\alpha )$ et ${\frac {r^{3}}{^{3}}}\sin(v+\alpha ).$ Elle aura alors l’avantage d’être indépendante de la quantité $k$ et de la grandeur du rayon $a$ de la sphère ; mais pour plus d’exactitude, il faudra toujours faire subir aux quantités $\operatorname {tang} \delta$ et $\operatorname {tang} \delta '$ la correction relative à la longueur de l’aiguille, qui consistera à diviser chacune de ces tangentes par la valeur correspondante de $1-\Delta ,$ comme nous l’avons dit plus haut.

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