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sera donnée par l’équation

$z=n{\sqrt {\frac {ab\lambda }{2(a+b)}}}.$

On en déduit ensuite la largeur $x$ de la frange par la proportion $a:z::a+b:x,$ d’où l’on tire $x={\frac {z(a+b)}{a}},$ ou substituant à la place de $z$ sa valeur,

$x=n{\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}(a+b)b\lambda }{a}}}.$

Il est à remarquer que le radical est précisément la distance entre le bord de l’ombre géométrique et le point qui répond à une différence d’un quart d’ondulation entre le rayon direct et le rayon parti du bord du corps opaque. Ce résultat était facile à prévoir car c’est précisément la valeur correspondante de v qui a été prise pour unité dans la table des valeurs numériques des intégrales $\int dv.\cos qv^{2}$ et $\int dv.\sin qv^{2}.$

Si l’on substitue dans la formule

$x=n{\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}(a+b)b\lambda }{a}}},$

à la place de $n,$ la valeur qui correspond au minimum du premier ordre c’est-à-dire au point le plus sombre de la bande obscure du premier ordre, on a,

$x=(1{,}873){\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}(a+b)b\lambda }{a}}}.$

En partant de l’hypothèse que les franges sont produites par le concours des rayons directs et des rayons réfléchis sur le bord du corps opaque, et en supposant en outre que les rayons réfléchis éprouvent un retard d’une demi-ondulation nous avons trouvé pour la même bande,

$x={\sqrt {\frac {2(a+b)b\lambda }{a}}}\qquad {\text{ou}}\qquad x=2{\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}(a+b)b\lambda }{a}}}\,;$