Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 5.djvu/518

${\begin{aligned}4\pi \alpha _{_{\scriptscriptstyle {I}}}&=-{\frac {3\alpha }{1+2k-{\cfrac {3\pi ka}{2c}}}},\\4\pi \beta _{_{\scriptscriptstyle {I}}}&=-{\frac {3\beta }{1-k+{\cfrac {3\pi ka}{4c}}-{\cfrac {3ka^{2}}{c^{2}}}}},\\4\pi \gamma _{_{\scriptscriptstyle {I}}}&=-{\frac {3\gamma }{1-k+{\cfrac {3\pi ka}{4c}}-{\cfrac {3ka^{2}}{c^{2}}}}}\,;\end{aligned}}$

on a conservé le terme $-{\frac {3ka^{2}}{c^{2}}}$ au dénominateur commun à ces deux dernières formules, à cause que la valeur numérique de $1-k$ est en général une très-petite fraction, et ce dénominateur une très-petite quantité. La valeur de $Q$ devient ensuite

${\begin{aligned}Q=&-{\frac {3ka\alpha x}{1+2k-{\cfrac {3\pi ka}{2c}}}}\left[{\frac {1}{h}}-{\frac {1}{c}}\operatorname {arc} \left(\operatorname {tang} ={\frac {c}{h}}\right)\right]\\&-{\frac {3ka(\beta y+\gamma z)}{2\left(1-k+{\cfrac {3\pi ka}{4c}}-{\cfrac {3ka^{2}}{c^{2}}}\right)}}\left[{\frac {1}{c}}\operatorname {arc} \left(\operatorname {tang} ={\frac {c}{h}}-{\frac {h}{h^{2}+c^{2}}}\right)\right].\end{aligned}}$

Supposons, de pius, que le point $M$ ne soit pas très-éloigné du centre de la plaque, de sorte que ${\frac {x^{2}}{c^{2}}}$ et ${\frac {r^{2}}{c^{2}}}$ soient de très-petites fractions. Si l’on néglige leurs carrés ainsi que $a^{2}$ par rapport à $c^{2},$ et qu’on réduise l’expression de $h$ en série, on aura

$h=\pm x\left(1+{\frac {r^{2}-x^{2}}{2c^{2}}}\right),$

en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur selon que la variable $x$ sera positive ou négative, afin que la valeur de $h$ soit toujours positive (n.° 7). On a d’ailleurs

$\operatorname {arc} \left(\operatorname {tang} ={\frac {c}{h}}\right)={\frac {1}{2}}\pi -{\frac {h}{c}}+{\frac {h^{3}}{3c^{3}}}-\&c.\,;$