trouvés en contact avec ceux d’Henri Poincaré. L’importance du sujet m’engage à entrer dans quelques détails.
Lorsque Lagrange, à l’âge de 18 ans, inventait le Calcul des Variations, il préparait aux géomètres une série de problèmes qui devaient, comme ceux de la Physique mathématique, contribuer puissamment au développement de l’Analyse elle-même. Les deux plus simples de ces problèmes, ceux qui se présentaient immédiatement à l’esprit, étaient la détermination du plus court chemin reliant deux points sur une surface et celle de la surface d’aire minima passant par un contour donné. Ces deux belles questions, je n’ai pas besoin de le rappeler, ont donné naissance à des recherches de la plus haute signification. Bornons-nous à la seconde, qui seule nous intéresse ici. On sait déterminer en bloc toutes les surfaces d’aire minima ; mais si l’on veut obtenir en particulier celle d’entre elles qui passe par un contour donné, on se heurte à des difficultés qui n’ont pu être levées jusqu’ici que dans des cas très spéciaux. Supposons pourtant que ces difficultés aient été surmontées, et que l’on connaisse la surface minima passant par le contour donné. Pour résoudre le problème posé par Lagrange, il faudra rechercher si la surface obtenue a une aire réellement plus petite que toute autre surface infiniment voisine passant par le même contour. Pour les lignes géodésiques, le problème correspondant avait été résolu par Jacobi ; mais, pour les surfaces minima, c’est M. H.-A. Schwarz qui en 1885, dans un admirable Mémoire, digne hommage offert à Weierstrass à l’occasion de son 70e anniversaire, l’a, le premier, abordé et résolu.
Quand elles sont posées par la nature des choses, les questions les plus diverses en apparence se trouvent liées souvent par des rapports étroits. En même temps que le problème qu’il s’était proposé, M. Schwarz avait implicitement résolu le suivant : Une membrane, tendue sur une courbe plane, se met à vibrer : déterminer le son fondamental, c’est-à-dire celui qui se produit lorsque la membrane
