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solution était possible. L’une de ces conditions est que l’exposant de la puissance, ou même son carré, soit diviseur de l’une des indéterminées ; et l’on remarquera que cette simple condition, facile à démontrer pour de petites valeurs de l’exposant, devient elle-même un problème difficile et non résolu, lorsqu’on veut l’étendre à un exposant quelconque.

1. L’équation à résoudre étant représentée en général par $x^{n}\pm y^{n}=z^{n}$, on peut d’abord exclure le cas où l’exposant $n$ serait divisible par $4$ ; car cette équation ne serait qu’un cas particulier de l’équation $t^{4}\pm u^{4}=v^{4}$. Or celle-ci est démontrée impossible ; il faut donc que la première le soit à plus forte raison, puisqu’il ne suffirait pas de satisfaire à cette dernière par des valeurs de $t$, $u$, $v$, et qu’il faudrait encore que ces valeurs fussent des puissances de l’ordre ${\tfrac {1}{4}}n$.

On peut de même faire abstraction du cas où l’exposant $n$ serait simplement divisible par $2$ ; car en faisant $n=2m$, l’équation proposée serait un cas particulier de l’équation $t^{m}\pm u^{m}=v^{m}$ où l’exposant $m$ est un nombre impair.

On peut prouver de plus qu’il suffit de considérer le cas où $n$ est un nombre premier ; en effet, si $n$ était un nombre impair quelconque, soit $\nu$ le plus petit nombre premier qui divise $n$, il est clair que l’équation proposée serait un cas particulier de l’équation $t^{\nu }\pm u^{\nu }=v^{\nu }$, de sorte que si cette dernière est démontrée impossible, l’autre devra l’être à plus forte raison.

2. Cela posé, il s’agit en général de démontrer que l’équation $x^{n}+y^{n}+z^{n}$, où $n$ est un nombre premier plus grand que $2$, est impossible, sauf le cas évident où l’un des nombres $x$, $y$, $z$, serait zéro. Nous supposerons d’ailleurs que les nombres $x$, $y$, $z$, dont les valeurs et les signes sont in-