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je dis que $u$ devra être divisible par $3.$

En effet supposons, s’il est possible, que $u$ ne soit pas divisible par $3\,;$ le premier membre $x^{3}+y^{3}$ est le produit de deux facteurs $x+y$ et $x^{2}-xy+y^{2}$ qui ne peuvent avoir que trois pour commun diviseur (art. 7) ; et puisque $3$ ne divise pas le second membre $2^{3m}u^{3},$ il s’ensuit que ces deux facteurs sont premiers entre eux. Leur produit doit être un cube, il faut donc que chacun d’eux soit un cube ; si l’on observe d’ailleurs que $x^{2}-xy+y^{2}$ est toujours un nombre impair, on en conclura que $2^{3m}$ doit être facteur de $x+y\,;$ ainsi on devra faire

$x+y=2^{3m}\alpha ^{3}$

$x^{2}-xy+y^{2}=$ϐ$^{3},$

ce qui suppose $u=\alpha$ϐ, ϐ étant positif et premier à $\alpha .$

Maintenant si l’on met la seconde équation sous cette forme

ϐ$^{3}=\left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}+3\left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2},$

on voit que le second membre étant de la forme $p^{2}+3q^{2},$ son diviseur ϐ, qui est un nombre impair, devra être de la même forme. Faisant donc ϐ$=f^{2}+3g^{2},$ ensuite $\left(f+g{\sqrt {-3}}\right)^{3}=\mathrm {F+G} {\sqrt {-3}},$ ce qui donne

${\begin{aligned}\mathrm {F} &=f\left(f^{2}-9g^{2}\right)\\\mathrm {G} &=3g\left(f^{2}-g^{2}\right),\end{aligned}}$

on aura ϐ$^{3}=F^{2}+3G^{2}\,;$ de sorte qu’on satisfera généralement à l’équation précédente en faisant

${\frac {x+y}{2}}=\mathrm {F} ,\qquad {\frac {x-y}{2}}=\mathrm {G} ,$