Nous avions déjà démontré dans la Théorie des nombres le cas de 
et celui de 
étant un nombre entier ; la démonstration précédente qui s’applique à ces deux cas, comprend en outre le cas de 
De l’équation 
51. Il résulte de la démonstration précédente que cette équation est impossible pour les valeurs 
etc. on peut faire voir qu’elle l’est encore pour les valeurs 
Pour cet effet observons d’abord que si 
est de la forme 
l’indéterminée 
devra être divisible par 
car si elle ne l’était pas, on pourrait faire 
et en rejetant les multiples de 
on aurait 
Or un cube quelconque est toujours de l’une des trois formes 
donc la somme de deux cubes, divisée par ne peut laisser pour reste que 
ou 
Donc si donne pour reste 
ou 
sera nécessairement divisible par 
52. Cela posé, considérons l’équation 
puisque doit être divisible par 
cette équation ne pourra se partager en deux autres que de cette manière
où l’on suppose 
étant impair et premier à 
La seconde de ces deux équations pouvant se mettre sous la forme 
il faudra distinguer deux cas, selon que 
est pair ou impair.
Supposons 1o. impair, 
sera aussi impair ; et puisque le premier membre de cette équation est de la forme 
