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Mais si l’excentricité qui dans les orbes elliptiques ne surpasse jamais l’unité, en devenait fort approchante ; on conçoit que les séries pourraient cesser d’être convergentes. Il importe donc de connaître si parmi les valeurs comprises entre zéro et l’unité, que l’excentricité peut avoir, il en est une au-dessus de laquelle ces séries seraient divergentes ; et dans ce cas, de la déterminer. Prenons pour unité, le demi-grand axe de l’ellipse : désignons par $e$ son excentricité, par $t$ l’anomalie moyenne comptée du périgée, et par $\mathrm {R}$ le rayon vecteur ; on aura par le n^o. 22 du second livre de la Mécanique céleste,

${\begin{aligned}\mathrm {R} =1+{\frac {e^{2}}{2}}&-e.\cos .t\\&-{\frac {e^{2}}{1.2}}.\cos .2t\\&-{\frac {e^{3}}{1.2.2^{2}}}.(3.\cos .3t-3.\cos .t)\\&-{\frac {e^{4}}{1.2.3.2^{3}}}.\left(4^{2}.\cos .4t-4.2^{2}.\cos .2t\right)\\&-{\frac {e^{5}}{1.2.3.4.2^{4}}}.\left(5^{3}.\cos .5t-5.3^{3}.\cos .3t+{\frac {5.4}{1.2}}\cos .t\right)\\&-{\frac {e^{6}}{1.2.3.4.5.2^{5}}}.\left(6^{4}.\cos .6t-6.4^{4}.\cos .4t+{\frac {6.5}{1.2}}\cos .2t\right)\\&-{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Le terme général de cette expression est

$-{\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots {\overline {i-1}}.2^{i-1}}}.\left\{{\begin{aligned}&i^{i-2}.\cos .it-i.(i-2)^{i-2}.\cos .(i-2)t\\&+{\frac {i.\operatorname {i-1} }{1.2}}.(i-4)^{i-2}.\cos .(i-4)t\\&-{\frac {i.\operatorname {i-1} .\operatorname {i-2} }{1.2.3}}.(i-6)^{i-2}.\cos .(i-6)t\\&+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}\,;$