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du mouvement des fluides.

IV. Applications des résultats précédents.

Écoulement d’un fluide par un tuyau rectiligne dont la section est rectangulaire.

On considère un tuyau dont les parois sont formées par quatre plans parallèles aux plans des $xy$ et des $xz$. L’axe du tuyau se confond avec l’axe des $x$, qui forme avec l’horizon un angle $\theta$. Toutes les molécules du fluide sont supposées se mouvoir suivant des directions parallèles à l’axe du tuyau. On a donc ici $v=0,w=0\ ;$ et désignant par $g$ la vitesse que la gravité imprime aux corps pesants dans l’unité de temps, $P=\rho g\sin .\theta ,Q=0,R=\rho g\cos .\theta ,$ en supposant que les $x$ et les $z$ positives sont comptées de haut en bas. L’équation de continuité se réduit à ${\tfrac {du}{dx}}=0$ ce qui apprend que $u$ est fonction de $y$ et $z$ seulement, ou que toutes les molécules situées sur une même ligne parallèle à l’axe du tuyau doivent à chaque instant avoir les mêmes vitesses. Les équations indéfinies deviennent

${\begin{aligned}\rho g\sin .\theta -{\frac {dp}{dx}}&=\rho {\frac {du}{dt}}-\varepsilon \left({\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right),\\{\frac {dp}{dy}}&=0,\\\rho g\cos .\theta -{\frac {dp}{dz}}&=0,\end{aligned}}$

et l’on doit y satisfaire dans toute l’étendue du fluide. Il faut de plus, en désignant par $b$ la demi-largeur, et par $c$ la demi-épaisseur du tuyau, que l’on ait