Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/607

419

du mouvement des fluides.

On satisfait à l’équation précédente au moyen de l’expression

$u=$$\mathrm {S} \mathrm {S}$$\mathrm {P} \cos .my.\cos .nz.e^{-{\frac {\varepsilon }{\rho }}\left(m^{2}+n^{2}\right)t}+$$\mathrm {S} \mathrm {S}$$\mathrm {Q} \cos .my.\cos .nz,$

$m,n$ étant des nombres quelconques, $\mathrm {P}$ représentant un coefficient arbitraire, et $\mathrm {Q}$ un coefficient déterminé par la condition

${\frac {\rho g\zeta }{\varepsilon .\alpha }}=$$\mathrm {S} \mathrm {S}$$\mathrm {Q} \left(m^{2}+n^{2}\right)\cos .my.\cos .nz.$

En substituant ensuite l’expression de $u$ dans les deux équations déterminées, et faisant dans la première $y=\pm b$, et dans la seconde $z=\pm c$, il en résulte les équations

${\begin{aligned}mb.{\text{tang}}.mb&={\frac {\mathrm {E} b}{\varepsilon }},\\nc.{\text{tang}}.nc&={\frac {\mathrm {E} c}{\varepsilon }},\end{aligned}}$

qui donneront chacune pour $m$ et $b$ une infinité de valeurs, au moyen desquelles on formera les termes des séries qui entrent dans l’expression de $u$. Il ne reste plus qu’à déterminer les coefficients de ces termes, que nous avons représentés par $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$. Pour trouver d’abord les coefficients représentés par $\mathrm {Q}$, on multipliera l’équation dont ils dépendent par $dydz\cos .m'y.\cos .n'z,$ et l’on intégrera par rapport à $y$ entre les limites $0$ et $b$, et par rapport à $z$ entre les limites $0$ et $c,$ ce qui donnera

${\begin{aligned}{\frac {\rho g\zeta }{\varepsilon \alpha }}&\int _{0}^{b}dy\int _{0}^{c}dz.\cos .m'y.\cos .n'z=\\\end{aligned}}$

$\mathrm {S} \mathrm {S}$${\begin{aligned}\mathrm {Q} \left(m^{2}+n^{2}\right)&\int _{0}^{b}dy\int _{0}^{c}dz.\cos .my.\cos .my'.\cos .nz.\cos .n'z\ ;\end{aligned}}$