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DU MOUVEMENT DES FLUIDES.

on aura, au lieu de l’équation précédente,

${\frac {m-n}{\varepsilon }}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s=\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s\right)_{0}-\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s\right)_{\mathrm {R} }.$

Or la fonction $\sigma$ satisfait effectivement à l’équation que l’on vient de poser, si l’on prend $\sigma =r.s.$ En effet, mettant cette valeur de $\sigma$ dans l’équation dont il s’agit, elle devient

${\frac {n}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0,$

c’est-à-dire l’équation même dont dépend la fonction $s,$ en changeant seulement $m$ en $n.$

Nous désignerons par $\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {m}{\varepsilon }}r}}\right)$ la fonction de $r$ qui satisfait à l’équation

${\frac {m}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0,$

et par $\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {n}{\varepsilon }}r}}\right)$ la fonction de $r$ qui satisfait à l’équation

${\frac {n}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0.$

En substituant donc $\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {m}{\varepsilon }}r}}\right)$ à la place de $s,$ et $r\Psi \left({\sqrt {{\tfrac {n}{\varepsilon }}r}}\right)$ à la place de $\sigma ,$ il viendra

${\begin{aligned}{\frac {m-n}{\varepsilon }}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s&=\left[{\begin{array}{l}r{\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}.\Psi '\left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi \left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\\-\,r{\sqrt {\frac {n}{\varepsilon }}}.\Psi \left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi '\left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\end{array}}\right]_{0}\\&-\left[{\begin{array}{l}r{\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}.\Psi '\left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi \left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\\-\,r{\sqrt {\frac {n}{\varepsilon }}}.\Psi \left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi '\left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\end{array}}\right]_{\mathrm {R} }\end{aligned}}$

ou bien