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et réciproquement,… pourvu qu’on connaisse une partie au moins de la loi de dualité !

On peut aussi passer du principe d’identité au principe de contradiction ou du tiers exclu, et réciproquement. Pour simplifier les choses, considérons ces principes tels qu’ils se présentent dans la théorie des $\mathrm {Cls}$ et supposons connue la P

112.                    $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,\therefore \,\supset \,\therefore \,a=b\,:\,=\,:\,a\supset b\,.\,b\supset a$

qui résulte des $\mathrm {P}$ 52 et 53, en les résumant moyennant les $\mathrm {P}$ 52, 54, 57.

En y remplaçant b par a, elle devient

$a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,\therefore \,\supset \,\therefore \,a=a\,:\,=\,:\,a\supset a\,.\,a\supset a$(1)

La propriété simplificative du signe « $\smallfrown$ » (sous entendu), c’est-à-dire la $\mathrm {P}$ 77 appliquée aux conditions, nous donne

$a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,\therefore \,\supset \,\therefore \,a\supset a\,.\,a\supset a\,:\,=\,:\,a\supset a$(2)

Les $\mathrm {P}$ 70 et 71, en y remplaçant b par a, donnent

$a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,:\,\supset \,:\,a\supset a\,.\,=\,.\,a\smallfrown \lnot a=\wedge$(3)

$a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,:\,\supset \,:\,a\supset a\,.\,=\,.\,a\smallsmile \lnot a=\vee$(4)

Enfin, au moyen de la propriété transitive de l’égalité [$\mathrm {P}$ 46], des $\mathrm {P}$ (1) (2) (3) on obtient la P

$a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,:\,\supset \,:\,a=a\,.\,=\,.\,a\smallfrown \lnot a=\wedge$(5)

qui énonce l’équivalence des principes d’identité et de contradiction ; tandis que des $\mathrm {P}$ (1) (2) (4) on obtient la P

$a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,:\,\supset \,:\,a=a\,.\,=\,.\,a\smallsmile \lnot a=\vee$(6)

qui énonce l’équivalence des principes d’identité et du tiers exclu.

Mais pour démontrer les $\mathrm {P}$ (5) (6) nous avons eu recours aux $\mathrm {P}$ 112, 77, 70, 71, 46, c’est-à-dire à cinq autres principes logiques !

125. Les principes de contradiction et du tiers exclu [120 (II) (III)] prennent parfois, pour les $\mathrm {Cls}$, les formes (corrélatives entre elles [111])

113.                    $a\smallfrown b=\wedge \,.\,\supset \,.\,b\supset \lnot a$
114.                    $a\smallsmile b=\vee \,.\,\supset \,.\,\lnot a\supset b$

et les formes (aussi corrélatives entre elles) à double rôle

$a\supset \lnot (\lnot a)\qquad \quad \lnot (\lnot a)\supset a$