Page:Padoa - La Logique déductive dans sa dernière phase de développement.djvu/105

— 99 —

Par la $\mathrm {P}$ 4 [$\mathrm {P}$ 2]

$x,y\,\varepsilon \,a\,:\,=\,:\,x\,\varepsilon \,a\,.\,\smallfrown \,.\,y\,\varepsilon \,a$(IV)

on définit le symbole « $,$ » moyennant le symbole « $\varepsilon$ » que je viens de définir^[1].

Le langage courant suggère immédiatement de lire l’écriture
« $\ldots \,,\,\ldots \,\varepsilon \,\ldots$ » comme il suit : « … et … sont des … » [65].

130. Maintenant je vais définir le symbole « $\mathrm {Cls}$ » ; à ce sujet, dans le Formulaire on trouve seulement la $\mathrm {P}$ 1 :

$a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,\supset \,.\,x\$$\varepsilon$$\ (x\,\varepsilon \,a)=a$(1)

c’est-à-dire « si a est une $\mathrm {Cls}$, alors l’ensemble des valeurs de x, telles que xsoit un a, est a ».

Comme dans le Formulaire on n’a donné aucune signification (et par suite aucune propriété) à l’écriture « $x\,\varepsilon \,a$ » lorsque a n’est pas une $\mathrm {Cls}$, je lui donne en ce cas cette propriété :

116.                    $\lnot (a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} )\,.\,\supset \,.\,x\$$\varepsilon$$\ (x\,\varepsilon \,a)=\wedge$

qu’on peut lire : « si a n’est pas une $\mathrm {Cls}$, aucune valeur de x n’est telle que x soit un a ».

Or, comme « $\wedge \ \varepsilon \ \mathrm {Cls}$ » [ 20], de la $\mathrm {P}$ 58 on tire que

$a=\wedge \,.\,\supset \,.\,a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

d’où [$\mathrm {P}$ 99]

$\lnot (a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} )\,.\,\supset \,.\,\lnot (a=\wedge )$

De la comparaison de cette $\mathrm {P}$ avec la $\mathrm {P}$ 116 il résulte que, si a n’est pas une $\mathrm {Cls}$, alors les deux écritures « $x\$$\varepsilon$$\ (x\,\varepsilon \,a)$ » et « $a$ » ne peuvent pas être égales entre elles, parce que la première est égale à « $\wedge$ » et la seconde non ; donc [69]

$\lnot (a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} )\,.\,\supset \,.\,\lnot [x\$$\varepsilon$$\ (x\,\varepsilon \,a)=a]$

d’où [$\mathrm {P}$ 99] la $\mathrm {P}$ :

117.                    $x\$$\varepsilon$$\ (x\,\varepsilon \,a)=a\,.\,\supset \,.\,a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$

En résumant [$\mathrm {P}$ 52] cette $\mathrm {P}$ avec la (1), on obtient

118.                    $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,=\,.\,x\$$\varepsilon$$\ (x\,\varepsilon \,a)=a$

c’est-à-dire « a est une $\mathrm {Cls}$ » signifie que « l’ensemble des valeurs de x, telles que x soit un a, est a ».

En voulant isoler le symbole « $\mathrm {Cls}$ », on arrive ainsi [60] à la P

1. Dans le Formulaire, la (IV) aussi est précédée de l’$\mathrm {Hp}$ « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ », qui est devenue inutile.