toute écriture telle qu’on puisse déterminer une interprétation (au moins) de deux variables x et y de manière qu’en plaçant cette écriture entre x et y, il en résulte une vraie ; et nous dirons que ces interprétations sont des valeurs possibles de x et de y par rapport à la relation donnée.
Voici des ex. de relations tirés du langage courant : « aime » (Paul aimait Virginie), « hait » (Caïn haïssait Abel), « est un fils de », « est le fils de », « voyage avec », « arrive de », etc.
Voici des ex. tirés de l’Arithmétique « est plus grand que », « est divisible par », « est premier avec », etc.
Et voici des ex. tirés de la Géométrie : « est perpendiculaire à », « est parallèle à », « est une projection ou une section ou une translation ou une rotation ou un déplacement de », etc.
79. En 1901, M. Russell publia dans la revue de M. Peano son remarquable mémoire Sur la théorie des relations, qui ôtait toute valeur à certaines critiques à la Logique faites par M. Poincaré[1], mais justifiait l’objection défensive de cet illustre mathématicien que voici : puisqu’on avait introduit de nouveaux symboles logiques, qui n’étaient pas de simples combinaisons des anciens, on ne pouvait s’étonner que certaines vérités qu’il avait déclarées irréductibles à la logique, au sens ancien du mot, se trouvassent être devenues réductibles à la logique, au sens nouveau, qui était tout différent[2].
Cette objection de M. Poincaré me donna l’envie d’analyser la théorie de Russell ; heureusement, dans mon mémoire « Che cos'è una relazione ? » (« Qu’est-ce qu’une relation ? » publié en 1906 par l’Académie des Sciences de Turin) j’ai pu démontrer que les nouveaux symboles et les nouveaux principes de Russell n’étaient aucunement nécessaires, étant tous réductibles aux symboles et aux principes du Formulaire de 1899 dont M. Poincaré avait pris connaissance et d’où, par conséquent, il aurait pu les tirer, ainsi que je venais de le faire.
Il y a donc déjà une théorie des relations ; mais, au lieu de la développer, je me contenterai de considérer les propriétés les plus importantes des relations logiques que nous connaissons déjà, savoir des égalités [23], des appartenances [24], des inclusions [31, 32], des
