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V

Le caractère essentiel du raisonnement par récurrence c’est qu’il contient, condensés pour ainsi dire en une formule unique, une infinité de syllogismes.

Pour qu’on s’en puisse mieux rendre compte, je vais énoncer les uns après les autres ces syllogismes qui sont, si l’on veut me passer l’expression, disposés en cascade.

Ce sont bien entendu des syllogismes hypothétiques.

Le théorème est vrai du nombre 1.
Or s’il est vrai de 1, il est vrai de 2.
Donc il est vrai de 2.
Or s’il est vrai de 2, il est vrai de 3.
Donc il est vrai de 3, et ainsi de suite.

On voit que la conclusion de chaque syllogisme sert de mineure au suivant.

De plus les majeures de tous nos syllogismes peuvent être ramenées à une formule unique.

Si le théorème est vrai de n − 1, il l’est de n.

On voit donc que, dans les raisonnements par récurrence, on se borne à énoncer la mineure du premier syllogisme, et la formule générale qui contient comme cas particuliers toutes les majeures.

Cette suite de syllogismes qui ne finirait jamais se trouve ainsi réduite à une phrase de quelques lignes.