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hypothèse de m. du ligondès

dans l’état final permanent, la dérivée partielle ${\frac {d\rho }{dt}}$ sera nulle ; et cette équation se réduira, en vertu de l’équation (7), à

$\mathrm {X} {\frac {d\rho }{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {d\rho }{dy}}+\mathrm {Z} {\frac {d\rho }{dz}}=0.$

Cette équation n’interprète facilement : d’après les équations (6), $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y} ,$ $\mathrm {Z}$ sont proportionnels aux composantes $dx,$ $dy,$ $dz$ du déplacement élémentaire de la molécule ; on a donc

${\frac {d\rho }{dx}}dx+{\frac {d\rho }{dy}}dy+{\frac {d\rho }{dz}}dz=0.$

Cette équation signifie que, quand l’état permanent est atteint, $\rho$ ne varie pas tout le long de la trajectoire d’une molécule quelconque.

Si donc une trajectoire quelconque remplit le vase tout entier^[1], l’état final permanent donnera

$\rho ={\text{const.}}$

dans tout le vase ; c’est-à-dire que le mouvement aura eu pour résultat le mélange complet des deux liquides. C’est le cas le plus général.

Mais il peut arriver que les équations données (6) admettent une intégrale première

$\mathrm {J} (x,y,z)={\text{const.}}$

Cette équation représente une famille de surfaces, et une trajectoire quelconque est alors située tout entière sur une telle surface. Si elle remplit cette surface, la densité $\rho$ sera constante sur cette surface et la distribution finale des densités sera représentée par

$\rho =f(\mathrm {J} ),$

$f$ étant une fonction quelconque.

De même, si les équations (6) admettent deux intégrales

${\begin{aligned}\mathrm {J} _{1}(x,y,z)&={\text{const.}}&\mathrm {J} _{2}(x,y,z)&={\text{const.}}\end{aligned}}$

1. C’est ce qui arrive, par exemple, pour une courbe de Lissajous analogue à celles que nous avons considérées au n^o 71 (p. 87), et qui emplit tout un parallélépipède si les trois constantes $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ du n^o 71 ne sont pas commensurables entre elles.