Page:Poincaré - Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, 1911.djvu/131

105

hypothèse de m. du ligondès

dit, on aura pour définir le mouvement les équations de Hamilton

(8)

${\begin{aligned}{\frac {dq_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {E} }{dp_{i}}},&{\frac {dp_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {E} }{dq_{i}}},\end{aligned}}$

où $\mathrm {E} =\mathrm {T+U}$ représente l’énergie totale.

En supposant que les positions des molécules ou projectiles soient données, les $q_{i}$ et $\mathrm {U}$ seront des constantes fixées une fois pour toutes. Cherchons alors une loi de probabilité pour les vitesses, c’est-à-dire pour les $p_{i}$. En d’autres termes, cherchons comment les vitesses seront distribuées en moyenne chaque fois que le système repassera par sa configuration initiale (ou par une configuration très voisine).

On conçoit que les considérations développées plus haut trouvent ici leur application. Supposons d’abord que les équations (8) n’admettent pas d’autre intégrale que celle des forces vives

$\mathrm {E} ={\text{const.}}$

Dans l’espace à $2n$ dimensions des coordonnées $q_{i}$ et $p_{i}$, nous aurons alors à considérer la multiplicité à $2n-1$ dimensions

(13)

$\mathrm {E} ={\text{const.}}$

Mais comme on nous a imposé d’avance les positions de toutes les molécules, c’est-à-dire les $q_{i},$ il faudra que nous prenions l’intersection de cette multiplicité avec les plans

$q_{1}={\text{const.}},\quad q_{2}={\text{const.}},\quad \dots ,\quad q_{n}={\text{const.}}$

Cette intersection est une multiplicité M à $n-1$ dimensions. Les $q_{i}$ et $\mathrm {U}$ étant des constantes, l’équation (13) s’écrit simplement

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\sum p_{i}^{2}={\text{const.}}\,;$

telle est, dans l’espace à n dimensions des $p_{i},$ l’équation de notre multiplicité M à $n-1$ dimensions.

Cette multiplicité M présente, on le voit, la symétrie d’une sphère ; par suite (d’après la remarque faite à la page 104) la quantité appelée plus haut $\zeta$ et la densité fictive $\rho '$ sont constantes tout le long de cette multiplicité M, que nous pouvons appeler une sphère à $n-1$ dimensions, pour faciliter le langage.