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hypothèses cosmogoniques

Ces trois formules s’écrivent (en négligeant au second membre de la première les termes en $\eta$ et $\mu$ à côté du premier terme qui est fini)

(23)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&=-4n+4\Omega ,\\{\frac {1}{\eta }}\xi {\frac {d\eta }{dt}}&=-44n+72\Omega ,\\{\frac {1}{\mu }}\xi {\frac {d\mu }{dt}}&=4n.\\\end{aligned}}\right.$

Rappelons-nous que nous avons fait abstraction, aux seconds membres des formules (20) ou (22), d’un même facteur constant. Ce facteur, il est facile de le voir, est négatif. Désignons-le par $-{\frac {k}{4}}$ et rétablissons-le maintenant dans les formules (23) qui deviennent ainsi

(24)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&=k(n-\Omega ),\\{\frac {1}{\eta }}\xi {\frac {d\eta }{dt}}&=k(11n-18\Omega ),\\{\frac {1}{\mu }}\xi {\frac {d\mu }{dt}}&=-kn.\\\end{aligned}}\right.$

Au lieu de conserver les variables $\eta$ et $\mu$, introduisons l’excentricité $e$ et l’inclinaison $i$ : nous avons, à des termes près d’ordre supérieur,

${\begin{aligned}\eta &={\frac {e^{2}}{2}},&\mu &=2\sin ^{2}{\frac {i}{2}}={\frac {i^{2}}{2}},\end{aligned}}$

et par suite

${\begin{aligned}{\frac {1}{\eta }}{\frac {d\eta }{dt}}&={\frac {2}{e}}{\frac {de}{dt}},\\{\frac {1}{\mu }}{\frac {d\mu }{dt}}&={\frac {2}{i}}{\frac {di}{dt}}.\end{aligned}}$

Les équations (24) s’écrivent donc

(25)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&=k(n-\Omega ),\\\xi {\frac {de}{dt}}&={\frac {ke}{2}}(11n-18\Omega ),\\\xi {\frac {di}{dt}}&=-{\frac {ki}{2}}n.\\\end{aligned}}\right.$