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sur l’origine de la chaleur solaire et de la chaleur terrestre

147.Mais nous avons, dans le calcul, supposé constante la densité $\rho .$ Cette simplification n’est pas légitime, car il est bien certain que dans le Soleil la densité croît à mesure qu’on se rapproche du centre. Admettons donc que la densité $\rho$ soit représentée, en fonction de la distance $r$ au centre, par la loi suivante :

$\rho =ar^{-\alpha },$

$a$ et $\alpha$ étant deux constantes positives^[1]. Les formules trouvées précédemment (n^o 146) nous donnent alors

$d\mathrm {M} =4\pi ar^{2-\alpha }\,dr\,;$

d’où

${\begin{aligned}\mathrm {M} &=4\pi a{\frac {r^{3-\alpha }}{3-\alpha }}\,;\\[0.5ex]d\mathrm {W} &={\frac {\mathrm {M} }{r}}d\mathrm {M} \\[0.5ex]&={\frac {(4\pi a)^{2}}{3-\alpha }}r^{4-2\alpha }\,dr,\end{aligned}}$

par suite

$\mathrm {W} ={\frac {(4\pi a)^{2}}{3-\alpha }}{\frac {r^{5-2\alpha }}{5-2\alpha }}\,;$

cette dernière égalité peut s’écrire

$\mathrm {W} ={\frac {\mathrm {M} ^{2}}{r}}{\frac {3-\alpha }{5-2\alpha }}.$

Dans cette hypothèse, l’énergie emmagasinée par le Soleil lors de sa formation est donc

${\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {R} }}{\frac {3-\alpha }{5-2\alpha }}\,;$

par suite le Soleil ne peut pas rayonner depuis plus de

(1)

${\frac {3-\alpha }{5-2\alpha }}.32.10^{6}$

années.

1. Cette loi donnerait $\rho =\infty$ au centre du Soleil ; elle n’est donc qu’une approximation, de laquelle la réalité peut se rapprocher plus ou moins.