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hypothèses cosmogoniques

et les trois premières équations (3) deviennent

(4)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}&{}+{}&{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}&=0,\\{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}&{}+{}&{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dy}}&=\omega ^{2}y,\\{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}&{}+{}&{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dz}}&=\omega ^{2}z.\\\end{alignedat}}\right.$

Dans le cas d’isothermie, $p$ et $\rho$ sont reliés par la loi de Mariotte ; dans le cas d’adiabatie ils sont reliés par une autre formule ; mais, dans les deux cas, $p$ est fonction de $\rho$ et

${\frac {dp}{\rho }}=d\mathrm {H}$

est une différentielle exacte. Multipliant les équations (4) respectivement par $dx,$ $dy,$ $dz$ et ajoutant les résultats obtenus, nous trouvons

$d\mathrm {P} +d\mathrm {H} =\omega ^{2}(y\,dy+z\,dz),$

qui s’écrit

(5)

$d(\mathrm {P} +\mathrm {H} )=\omega ^{2}\mathrm {R} \,d\mathrm {R} ,$

en appelant

$\mathrm {R} ={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}$

la distance d’un point à l’axe de révolution.

Le premier membre de l’équation (5) étant une différentielle exacte, il en est de même du second ; donc $\omega$ ne doit dépendre que de $\mathrm {R}$ et nous pouvons poser

$\omega ^{2}\mathrm {R} =\varphi '(\mathrm {R} )\,;$

l’équation (5) s’écrit alors

$\quad d(\mathrm {P} +\mathrm {H} )=d\varphi ,$

ce qui nous donne l’intégrale

$\mathrm {P} +\mathrm {H} -\varphi =\mathrm {const.}$

Les surfaces d’égale pression, qu’on peut encore appeler surfaces de niveau, s’obtiendront en donnant à $\mathrm {H}$ une valeur constante ; elles auront donc pour équation

$\varphi -\mathrm {P} =\mathrm {C} .$