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hypothèses cosmogoniques

Il est aisé de se rendre compte de l’erreur commise en écrivant ces équations ; on a remplacé ${\frac {\mathrm {M} }{y^{2}}}$ par $\omega ^{2}$ ; l’équation exacte s’obtient en écrivant

${\frac {d\left(\varphi -\mathrm {P} \right)}{dy}}=0$

ou

${\frac {d\varphi }{dy}}+{\frac {d}{dy}}{\frac {\mathrm {M} }{r}}+{\frac {d\delta \mathrm {P} }{dy}}=0$

ou

$\omega ^{2}y+{\frac {\mathrm {M} }{y^{2}}}+{\frac {d\delta \mathrm {P} }{dy}}=0.$

L’erreur commise est donc de l’ordre de ${\frac {d\delta \mathrm {P} }{y\,dy}}$ ; si les dimensions de la section méridienne de l’anneau sont très petites par rapport au rayon de l’anneau (c’est-à-dire par rapport à $y$ ou à $\mathrm {R}$) ${\frac {d\delta \mathrm {P} }{y\,dy}}$ sera de l’ordre de ${\frac {\rho \alpha }{y}}$ ; $\alpha$ étant l’une des dimensions de la section méridienne, il sera donc négligeable non seulement d’une manière absolue, mais devant $\rho$, c’est-à-dire devant $\varepsilon$ et $\varepsilon '$ qui sont du même ordre que $\rho$.

Alors les trois inégalités (11) donnent les trois suivantes

${\begin{aligned}-\omega ^{2}&-\varepsilon \,<0,\\3\omega ^{2}+2\omega \omega 'y&+\varepsilon +\varepsilon '-4\pi \rho <0,\\&-\varepsilon '<0\end{aligned}}$

La première et la troisième sont satisfaites d’elles-mêmes. De la seconde on tire, en remplaçant $y$ par $\mathrm {R}$, et se rappelant que $\varepsilon$ et $\varepsilon '$ sont positifs, l’inégalité

(12)

$3\omega ^{2}+2\omega \omega '\mathrm {R} <4\pi \rho ,$

donnant pour la densité $\rho$ une limite inférieure plus précise que la limite donnée par l’inégalité (10).

Si donc la distribution des vitesses angulaires dans l’anneau est telle que le premier membre de l’inégalité (12) soit positif, il existera une limite inférieure de la densité ; si, au contraire, ce premier membre est négatif il n’en existera pas : or, ce premier membre est positif ou négatif suivant que $\omega ^{2}\mathrm {R} ^{3}$ croît ou décroît quand $\mathrm {R}$ augmente.