Page:Poincaré - Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, 1911.djvu/76

50

hypothèses cosmogoniques

À une époque ultérieure $t$, l’anneau s’est rétréci et a diminué d’épaisseur par suite du refroidissement ; le moment de rotation de chaque particule étant demeuré constant, la nouvelle vitesse angulaire $\omega$ et la nouvelle distance au centre $\mathrm {R}$ vérifient l’équation

(15)

$\omega \mathrm {R} ^{2}=\omega _{0}\mathrm {R} _{0}^{2}.$

Comparant l’équation (14) à l’équation (15) il vient

(16)

$\omega ={\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}{\sqrt {\mathrm {MR} _{0}}}.$

L’anneau étant très mince, nous prenons pour unité son rayon moyen et nous posons

${\begin{aligned}\mathrm {R} &=1+\varepsilon ,\\\mathrm {R} _{0}&=1+\varepsilon _{0},\end{aligned}}$

$\varepsilon$ et $\varepsilon _{0}$ étant de petites quantités. La contraction $\lambda$ étant mesurée par le rapport ${\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}},$ on a

$\lambda ={\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}\,;$

la vitesse angulaire $\omega$ à l’époque $t$ est donnée par l’égalité (16) qui s’écrit

${\begin{aligned}\omega &={\sqrt {\mathrm {M} }}\left(1+\varepsilon _{0}\right)^{\frac {1}{2}}\left(1+\varepsilon \right)^{-2}\\[0.5ex]&={\sqrt {\mathrm {M} }}\left(1+{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}-2\varepsilon \right)\\[0.5ex]&={\sqrt {\mathrm {M} }}\left[1+\varepsilon _{0}\left({\frac {1}{2}}-2\lambda \right)\right].\end{aligned}}$

Quand la contraction aura atteint la valeur $\lambda ={\frac {1}{4}},$ $\omega$ aura atteint, on le voit, une valeur constante ${\sqrt {\mathrm {M} }}.$

Ce mécanisme concourt donc avec le frottement à uniformiser la vitesse de rotation de l’anneau et à la rendre constante, les particules les plus externes acquérant ainsi une vitesse linéaire plus grande que les plus internes, comme le voulait Laplace pour expliquer la rotation directe des planètes. Malheureusement l’anneau deviendra instable avant que cet état de rotation uniforme ne soit atteint, puisque les deux inégalités (13) seront devenues incompatibles.