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analyse de l’hypothèse de laplace

par suite nous pouvons écrire

$\mathrm {V} _{2}={\frac {\omega ^{2}}{2\left(1+\mu \right)}}\left(2y^{2}-x^{2}-z^{2}\right),$

Le potentiel dû à la force centrifuge est

$\mathrm {V} _{3}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\left(y^{2}+z^{2}\right).$

Nous voulons prouver que la masse fluide homogène peut prendre, dans l’équilibre, la figure d’un ellipsoïde

(17)

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,$

dont les axes sont dirigés suivant $ox,$ $oy,$ $oz.$ On sait que Ie potentiel d’attraction à l’intérieur d’un tel ellipsoïde homogène peut s’écrire

$\mathrm {V} _{1}=-{\frac {1}{2}}\left(\mathrm {P} x^{2}+\mathrm {Q} y^{2}+\mathrm {R} z^{2}\right),$

$\mathrm {P,\,Q,\,R}$ étant trois constantes. Si l’on désigne par

(18)

$s={\frac {a^{2}}{b^{2}}},\qquad t={\frac {a^{2}}{c^{2}}},$

les carrés des rapports d’un des axes de l’ellipsoïde aux deux autres, ces trois constantes ont pour valeurs

(19)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {P} &=2\pi \rho \;\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{\left(1+u\right)\Delta }},\\\mathrm {Q} &=2\pi \rho s\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{\left(1+su\right)\Delta }},\\\mathrm {R} &=2\pi \rho t\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{\left(1+tu\right)\Delta }},\\\end{aligned}}\right.$

où l’on a posé

$\Delta ={\sqrt {(1+u)(1+su)(1+tu)}}.$

Donc, lorsque la masse homogène affecte la forme de l’ellipsoïde (17), le potentiel total a pour valeur

$\mathrm {V_{1}+V_{2}+V_{3}} .$