nous révèle le fait suivant il y a des corps, les solides naturels, dont les mouvements satisfont à peu près à nos trois conditions.
Cette circonstance attire notre attention sur les groupes qui satisfont aux trois conditions ; et en particulier sur l’un d’eux dont les mouvements diffèrent peu de ceux de ces solides naturels.
Nous convenons de dire qu’une figure, entraînée dans un mouvement faisant partie de ce groupe, reste égale à elle-même et conserve sa forme. Nous donnons le nom de droites aux lignes principales relatives à ce groupe, et celui de plans aux surfaces principales relatives à ce groupe. Les mots de forme, droite et plan sont désormais définis.
Maintenant, comme il existe des groupes satisfaisant aux deux premières conditions seulement, il pourrait exister des corps dont les mouvements s’écarteraient peu de ceux de l’un de ces groupes et satisferaient par conséquent à peu près aux deux premières conditions et ne satisferaient pas à peu près à la troisième. Personne n’a jamais vu de pareils corps ; mais il est facile de les imaginer ; j’allais dire qu’on pourrait en faire. Ces corps, je les appellerai des solides non-euclidiens.
Que l’on imagine maintenant un monde où nos solides naturels ordinaires seraient inconnus, mais où il y aurait de pareils solides non-euclidiens ; que l’on suppose un géomètre élevé dans un pareil monde ; que va-t-il faire ? Son attention sera principalement appelée, non sur un des groupes qui satisfont aux trois conditions, mais sur un des groupes qui satisfont seulement aux deux premières.
C’est quand une figure sera entraînée dans un mouvement de ce groupe qu’il dira que cette figure reste égale à elle-même. C’est aux lignes principales relatives à ce groupe qu’il donnera le nom de droite. Ce sont les surfaces principales relatives à ce groupe qu’il appellera plans.
En un mot, il construira la géométrie non-euclidienne. L’éducation et l’habitude aidant, le postulatum d’Euclide lui paraîtra aussi absurde que celui de Lobatcheffsky à M. Delbœuf.
Voilà le rôle que j’attribue aux corps solides dans la genèse de la géométrie.
Quand je dis que je cherche à me représenter l’espace non-euclidien, je veux dire que je cherche à me représenter les mouvements des solides non-euclidiens, à me mettre à la place du géomètre dont je viens de parler. Cela ne peut pas avoir d’autre sens, et si cela ne
