n·ombres transfinis et qui font depuis quelques années le désespoir des mathématiciens. Le but de cette note, dit M. Burali-Forti, c’est de montrer qu’il peut y avoir deux nombres transfinis (ordinaux), et , tel que ne soit ni égal à , ni plus grand, ni plus petit.
Or Cantor avait précisément démontré qu’entre deux nombres transfinis, il ne peut y avoir d’autre relation que l’égalité, ou l’inégalité dans un sens ou dans l’autre. Mais ce n’est pas du fond de ce mémoire que je veux parler ici ; cela m’entraînerait beaucoup trop loin de mon sujet ; je veux seulement m’occuper de la forme, et précisément je me demande si cette forme lui fait beaucoup gagner en rigueur et si elle compense par là les efforts qu’elle impose à l’écrivain et au lecteur.
Nous voyons d’abord M. Burali-Forti définir le nombre de la manière suivante :
définition éminemment propre à donner une idée du nombre aux personnes qui n’en auraient jamais entendu parler.
J’entends trop mal le Péanien pour oser risquer une critique, mais je crains bien que cette définition ne contienne une pétition de principe, attendu que j’aperçois en chiffre dans le premier membre et Un en toutes lettres dans le second.
Quoi qu’il en soit, M. Burali-Forti part de cette définition et, après un court calcul, il arrive à l’équation :
(27) ο
qui nous apprend que Un est un nombre.
Et puisque nous en sommes à ces définitions des premiers nombres, rappelons que M. Couturat a défini également et .
Qu’est-ce que zéro ? c’est le nombre des éléments de la classe nulle ; et qu’est-ce que la classe nulle ? c’est celle qui ne contient aucun élément.
Définir zéro par nul, et nul par aucun, c’est vraiment abuser de la richesse de la langue française ; aussi M. Couturat a-t-il introduit un perfectionnement dans sa définition, en écrivant :
ce qui veut dire en français : zéro est le nombre des objets qui satisfont à une condition qui n’est jamais remplie.
