Et c’est bien le même : qu’est-ce qui distingue en effet l’intuition de l’addition logique de celle de l’addition arithmétique ? Dans cette dernière les éléments à additionner sont considérés simplement comme des individus, dépouillés par abstraction de toutes leurs différences qualitatives. Dans l’addition logique on se dispense de cette abstraction ; l’acte d’intuition est donc plus complexe, mais à part cela, c’est bien le même.
Je sais bien qu’on m’objectera que M. Russell, à l’inverse de ce qu’on l’ait d’ordinaire, se place d’abord au point de vue de la compréhension, et ensuite seulement au point de vue de l’extension. Et c’est là assurément une innovation très importante. Mais pour passer d’un point de vue à l’autre, un acte d’intuition est encore nécessaire.
Jusqu’ici les logisticiens ont réussi à éviter sinon tout appel à l’intuition (ils les ont au contraire multipliés), du moins tout recours au principe de l’induction complète. Mais la question est de savoir s’ils pourront aller plus loin ; ils croient que oui, je crois que non, et c’est là le point qui nous divise. C’est donc ici seulement que le vrai débat commence.
Il est certain que si l’on ne pouvait aller plus loin, les mathématiques seraient bien réduites. Quelques identités algébriques et, en dehors de cela, aucun théorème général, et ce serait tout. Ce serait à grand’peine qu’on pourrait montrer par un exemple que tous les nombres ne sont pas égaux entre eux. Mais ni théorie des nombres, ni analyse, ni géométrie. À ce compte les traités de mathématiques seraient beaucoup moins gros et on pourrait réduire considérablement les programmes de l’enseignement secondaire.
J’arrive à ce que M. Couturat appelle la théorie ordinale et qui est le fondement de l’arithmétique proprement dite. M. Couturat commence par énoncer les cinq axiomes de Peano, qui sont indépendants, comme l’ont démontré MM. Peano et Padoa.
