Quand vous disiez très justement : « pour qu’upe définition conventionnelle soit acceptable, il faut qu’elle n’implique pas contradiction », le sens de cette règle elle-même n’était nullement conventionnel.
Le principe d’induction, dit M. Couturat, caractérise les nombres finis, de sorte que tous les raisonnements fondés sur ce principe ne valent que pour les nombres finis. D’où il conclut que ce principe, bon tout au plus pour les arithméticiens qui ne s’élèvent pas jusqu’à l’idée d’infini, ne peut être d’aucun usage dans la théorie du nombre infini. « La théorie des nombres cardinaux peut donc être constituée tout entière d’une manière directe et indépendante, sur des bases purement logiques, sans faire appel à l’idée d’ordre, sans même invoquer la distinction des nombres finis et infinis, ni par suite le principe d’induction. » Cela, c’est ce que nous allons voir.
Quel est le théorème fondamental de la théorie des nombres cardinaux infinis ? C’est le théorème de Bernstein dont je rappelle l’énoncé.
Considérons deux ensembles et ; si l’on peut faire correspondre les éléments de ces deux ensembles de telle façon que, à tout élément de l’un corresponde un élément et un seul de l’autre, on dit que ces deux ensembles ont même nombre cardinal et on écrit :
C’est la définition du nombre cardinal. On dira d’autre part qu’un ensemble est une partie de l’ensemble , si contient tous les éléments de et que ne contiennent pas tous ceux de .
Alors le théorème de Bernstein nous apprend que si l’on a :
, étant une partie de , et une partie de , on aura également :
Voyons la démonstration. La relation , nous apprend qu’à tout élément de correspond un élément de , et comme est une
