tion. Ainsi ce nom ne figurera plus nulle part dans la démonstration qui deviendra indépendante de la définition. Cette définition ne sera plus une de nos prémisses.
Or dans le cas du théorème de Bernstein, qu’arrive-t-il ? On s’appuie sur le principe d’induction qui d’après les logisticiens serait la définition du nombre fini. D’autre part, dans l’énoncé du théorème, il n’est pas question de nombres finis, mais seulement de nombres infinis. Nous devrions donc pouvoir démontrer le théorème sans nous appuyer sur le principe.
Or cela est impossible ; c’est donc que ce principe n’est pas la définition de l’entier fini qui figure dans la démonstration, c’est-à dire de l’indice de l’ensemble ; et, en effet, si nous recherchons de quelle manière on a été amené à parler de cet indice, nous verrons que ce principe n’y était pour rien.
La géométrie, dit M. Couturat, est un vaste corps de doctrine où le principe d’induction complète n’intervient pas. Cela est vrai dans une certaine mesure, on ne peut pas dire qu’il n’intervient pas, mais il intervient peu. Si l’on se reporte à la Rational Geometry de M. Halsted (New-York, John Wiley and Sons, 1904) établie d’après les principes de M. Hilbert, on voit intervenir le principe d’induction pour la première fois à la page 114 (à moins que j’aie mal cherché, ce qui est bien possible).
Ainsi la géométrie, qui, il y a quelques années à peine, semblait le domaine où le règne de l’intuition était incontesté, est aujourd’hui celui où les logisticiens semblent triompher. Rien ne saurait mieux faire mesurer l’importance des travaux géométriques de M. Hilbert et la profonde empreinte qu’ils ont laissée sur nos conceptions.
Mais il ne faut pas s’y tromper. Quel est en somme le théorème fondamental de la Géométrie ? C’est que les axiomes de la Géométrie n’impliquent pas contradiction et, cela, on ne peut pas le démontrer sans le principe d’induction.
Comment Hilbert démontre-t-il ce point essentiel ? C’est en s’ap-
