Page:Revue de métaphysique et de morale - 2.djvu/390

376

revue de métaphysique et de morale.

Supposons que le théorème soit vrai pour $c=\gamma$, je dis qu’il sera vrai pour $c=\gamma +1$.

Soit en effet

$(a+b)+\gamma =a+(b+\gamma )$ ;

on en déduira successivement :

$[(a+b)+\gamma ]+1=[a+(b+\gamma )]+1$

ou en vertu de la définition (1)

$(a+b)+(\gamma +1)=a+(b+\gamma +1)=a+[b+(\gamma +1)]$

ce qui montre que le théorème est vrai pour $\gamma +1$.

Étant vrai pour $c=1$, on verrait ainsi successivement qu’il l’est pour $c=2$, pour $c=3$, etc.

Commutativité.

1^o Je dis que

$a+1=1+a$

Le théorème est évidemment vrai pour $a=1$, je dis que s’il est vrai pour $a=\alpha$, il le sera pour $a=\alpha +1$.

Soit en effet :

$\alpha +1=1+\alpha$

nous en déduirons

$(\alpha +1)+1=(1+\alpha )+1$

ou bien puisque l’addition est associative :

$(\alpha +1)+1=1+(\alpha +1)$

C. Q. F. D.

Le théorème sera donc vrai pour $a=\alpha$ ; or il l’est pour $a=1$, il le sera donc pour $a=2$, pour $a=3$, etc. ; c’est ce qu’on exprime en disant que la proposition énoncée est démontrée par récurrence.

2^o Je dis que

$a+b=b+a$

Le théorème vient d’être démontré pour $b=1$, je dis que s’il est vrai pour $b=\beta$, il le sera pour $b=\beta +1$.

Soit en effet

$a+\beta =\beta +a$

il viendra :

$(a+\beta )+1=\beta +a+1$