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H. POINCARÉ. — Sur les principes de la Géométrie.

α avec $\mathrm {A}$ en même temps que β avec $\mathrm {B}$

α avec— $\mathrm {B}$ en même— temps que— β avec— $\mathrm {C}$

α avec— $\mathrm {C}$ en même— temps que— β avec— $\mathrm {D}$

α avec— $\mathrm {D}$ en même— temps que— β avec— $\mathrm {E}$

α avec— $\mathrm {E}$ en même— temps que— β avec— $\mathrm {F}$

α avec— $\mathrm {F}$ en même— temps que— β avec— $\mathrm {A}$

Les douze premières constatations sont les mêmes que dans le cas précédent ; mais les six dernières diffèrent, car c’est αβ et non αγ qui peut s’appliquer successivement sur $\mathrm {AB}$, sur $\mathrm {BC}$, $\mathrm {CD}$, $\mathrm {DE}$, $\mathrm {EF}$ et enfin sur $\mathrm {FA}$.

Ces constatations nouvelles ne sont pas possibles si les corps se meuvent suivant le groupe euclidien ; elles le deviennent si l’on suppose que les corps se meuvent suivant le groupe lobatcheffskien. Elles suffiraient donc (si on les faisait) pour prouver que les corps en question ne se meuvent pas suivant le groupe euclidien.

Ainsi, sans faire aucune hypothèse sur la forme, sur la nature de l’espace, sur les rapports des corps avec l’espace, sans attribuer aux corps aucune propriété géométrique, j’ai fait des constatations qui m’ont permis de montrer dans un cas que les corps expérimentés se meuvent suivant un groupe dont la structure est euclidienne, dans l’autre cas qu’ils se meuvent suivant un groupe dont la structure est lobatcheffskienne.

Et qu’on ne dise pas que le premier ensemble de constatations constituerait une expérience prouvant que l’espace est euclidien, et le second une expérience prouvant que l’espace est hyperbolique.

Et en effet on pourrait imaginer (je dis imaginer) des corps se mouvant de manière à rendre possible la seconde série de constatations. Et la preuve c’est que le premier mécanicien venu pourrait en construire, s’il voulait s’en donner la peine et y mettre le prix. Vous n’en conclurez pas pourtant que l’espace est hyperbolique.

Et même, comme les corps solides ordinaires continueraient à exister quand le mécanicien aurait construit les corps étranges dont je viens de parler, il faudrait conclure que l’espace est à la fois euclidien et hyperbolique.

Les expériences ont donc porté, non sur l’espace, mais sur les corps.

13. Enfin je n’ai jamais dit qu’on peut reconnaître par l’expérience si certains corps conservent leur forme. J’ai dit tout le contraire. Le mot « conserver sa forme » n’a par lui-même aucun sens. Mais je lui en donne un en convenant de dire que certains corps conservent leur