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partir d’un point origine, et la seconde^[1] par une longueur (ordonnée) y portée sur la perpendiculaire à l’axe à l’extrémité variable de l’abscisse, nous obtiendrons ainsi, aux extrémités des ordonnées, en supposant que U par exemple passe successivement et continûment par toutes les valeurs possibles, une ligne généralement courbe qui sera pour nous la représentation figurée de la fonction qui lie U et V. Ce procédé est bien connu et nous n’avons pas pour le moment à insister sur les avantages qu’il offre en certains cas pour l’étude des propriétés purement abstraites des fonctions.

Nous avons dit que le déplacement d’un point sur une droite représente la variation d’une quantité. De même le déplacement d’un point de toutes manières possibles sur un plan, figurera la double variation de l’abscisse x et de l’ordonnée i/, considérées ici comme indépendantes l’une de l’autre. Pour utiliser ce schéma, nous conviendrons, avec Argand^[2], d’assigner le point d’abscisse x et d’ordonnée y à l’expression imaginaire x + y V-1

Reprenons nos fonctions U, V. Posons U = x + y V—1. D’après la relation entre U et V, et les règles de calcul convenues ou établies, V se présentera sous une forme telle que X + Y V-1.

Que faisons-nous en réalité? Nous ne considérons plus les quantités U et V, mais deux groupes binaires (x, y) . (X, Y) liés entre eux par des relations telles que si x et y sont tous deux déterminés, X et Y le sont également tous les deux et réciproquement. Mais nous dénommons cette double relation sous le même nom que la relation unique qui lie U et V; ce que nous pouvons faire, parce que, grâce aux conventions faites pour le calcul, si nous supposons y nul, les deux groupes se réduisent respectivement à U et à V.

Voilà, au point de vue logique, tout le secret de l’emploi des quantités imaginaires en algèbre.

Géométriquement, les variations correspondantes des quantités U et V ou des groupes {x, y), (X, Y), se représenteront par les déplacements correspondants sur le plan des points de coordonnées (x, y), et (X, Y) ; si l’un de ces points décrit une certaine courbe déterminée, l’autre décrira de même une autre courbe déterminée.

Nous nous contenterons d’ajouter que cette représentation, employée par Cauchy, etc., a permis l’invention ou la démonstration

1. Pour simplifier l’exposé, ici comme dans ce qui suivra, nous ne considérons qu’une seule des diverses valeurs que peut prendre une fonction, dans le cas général, pour une valeur déterminée de la variable.
2. Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques, par R. Argand. 2^e éd., avec préface de M. J. Hoüel. — Paris, Gauthier-Villars, 1874.