Dans le système S, la circonférence tend non pas vers la droite, mais vers une courbe limite (horicycle), distincte de la droite et lui restant, bien entendu, tangente. Les perpendiculaires au milieu des cercles de cette courbe, au lieu de se rencontrer, comme dans le cercle, en un même point, sont parallèles.
Système Σ. Il n’y a que deux lignes uniformes, c’est-à-dire telles qu’une partie quelconque puisse parcourir la ligne tout entière sans déformation ; ce sont la ligne droite et le cercle.
Système S. Il y a quatre espèces de lignes uniformes : la ligne droite, le cercle, l’horicycle ; enfin une quelconque des courbes en nombre infini, qu’on peut mener, avec cette condition d’uniformité, entre la droite et l’horicycle, tangentes au point de contact. Bolyai les appelle courbes parallèles à une droite. Si par tous les points d’une droite, on élève du même côté des perpendiculaires toutes égales entre elles, le lieu des extrémités de ces perpendiculaires est une telle courbe. (Dans le système Σ, ce serait une droite parallèle à la première). Les perpendiculaires élevées au milieu des cordes de cette courbe (que nous nous figurons sous le schéma d’un cercle de très-grand rayon du système Σ) ne se rencontrent pas.
Imaginons qu’on fasse tourner toute la figure de la droite et du cercle tangent autour du rayon perpendiculaire à la droite. Celle-ci engendre un plan, le cercle une sphère tangente ; l’horicycle engendre la surface appelée horisphère, limite d’une surface sphérique dont le centre s’éloigne indéfiniment ; les courbes parallèles à des droites engendreront de même des surfaces de révolution tangentes au plan.
Système Σ. Il n’y a dans l’espace que deux surfaces uniformes, c’est-à-dire dont un élément quelconque puisse se mouvoir sur toute la surface de toutes les manières possibles et sans aucune déformation. Ce sont le plan et la sphère.
Système S. Il y a quatre surfaces uniformes : le plan, la sphère, l’horisphère et les surfaces courbes parallèles à des plans.
Toute propriété établie dans le système Σ entre droites sur un plan est vraie dans le système S, entre horicycles sur une horisphère.
Les relations métriques les plus ordinaires sur le plan dans le système Σ ne sont pas conservées dans le système S. En particulier rien de ce qui se rapporte à la similitude des figures ne subsiste.
L’angle de parallélisme G A D = , pour la distance est défini dans le système S par la relation
