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Paul Tannery. — la géométrie imaginaire.

a trois points infiniment voisins communs avec la courbe. On sait que trois points déterminent un cercle, comme deux une droite.

Ce cercle osculateur épouse mieux que tout autre la forme de la courbe dans le voisinage du point d’osculation. On est convenu, en conséquence, d’appeler courbure de la ligne en ce point l’inverse ${\frac {1}{R}}$ du rayon $R$ de ce cercle, expression qu’on est également convenu de prendre pour mesure de la courbure uniforme de la circonférence du cercle. Il est clair en effet que, selon le langage usuel, cette circonférence est d’autant plus courbe que le rayon en est plus petit.

Analytiquement, la courbure d’une ligne peut se présenter soit comme positive soit comme négative ; cette différence indique quel est le sens de la courbure, c’est-à-dire si la courbe est concave ou bien convexe par rapport à un côté déterminé de la figure.

Si le rayon $R$ se présente comme infini, il n’y a pas en réalité de cercle osculateur. C’est alors la tangente qui a trois points infiniment voisins communs avec la courbe. On dit qu’en ce point la courbure est nulle ; en général elle y change de sens, c’est-à-dire que la courbe subit une inflexion et, par rapport à un côté déterminé de la figure, devient concave de convexe ou inversement^[1].

Une ligne dont la courbure est nulle en tous ses points est nécessairement droite.

Il ne peut y avoir dans un plan que le cercle et la ligne droite dont on dise que la courbure soit la même en tous les points^[2].

Il n’était peut-être pas inutile d’insister sur ce qui précède, pour faire ressortir les procédés suivis par les géomètres dans le but de préciser, de façon à la soumettre au calcul, une notion aussi vague que l’est pour le commun des hommes celle de la courbure d’une ligne.

Voyons maintenant ce qui concerne les surfaces.

Elles se divisent sous le rapport de la courbure en trois classes : surfaces à courbure positive, surfaces à courbure négative, surfaces développables.

1. La courbure d’une ligne ne peut être infinie, ou le rayon de courbure nul que pour des points singuliers, comme ceux dits de rebroussement.
2. Il peut y avoir une infinité d’autres lignes à courbure constante parmi les courbes gauches, dont les divers cercles osculateurs sont situés dans des plans qui ne coïncident pas ; le cas le plus simple est celui de l’hélice. Il est inutile pour notre but de nous étendre sur la théorie de ces courbes ; remarquons toutefois que le nom qu’on leur donne souvent, celui de lignes à double courbure, est vicieux ; car la seconde courbure, qui correspond à la variation de l’inclinaison des plans des cercles osculateurs, est une inflexion d’un tout autre ordre que la première.